Question

8．如图所示，已知点A（4，0），点B在y轴上，经过A、B两点的直线与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≤-1）在第四象限的图象只有一个公共点．又一次函数y=x-2k的图象与x轴、y轴分别交于点C、D两点．当四边形ABCD的面积最小时，求k的值及面积的最小值．

Answer 1

分析 首先设经过点A（4，0）的直线的函数表达式为y=m（x-4）（m≠0），由直线与反比例函数图象只有一个公共点，可联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y=m（x-4）}\end{array}\right.$，整理得mx²-4mx-k=0，然后由判别式△=（-4m）²-4m•（-k）=16m²+4mk=0，求得m=-$\frac{1}{4}$k，继而求得点B，C，D的坐标，即可求得AC与BD的长，继而可得S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$BD•AC=$\frac{1}{2}$（-3k）（4-2k），然后由二次函数的最值，求得答案．

解答 解：设经过点A（4，0）的直线的函数表达式为y=m（x-4）（m≠0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{k}{x}}\\{y=m（x-4）}\end{array}\right.$，可得：mx²-4mx-k=0，
∵直线与反比例函数图象只有一个公共点，
∴△=（-4m）²-4m•（-k）=16m²+4mk=0，
解得：m=-$\frac{1}{4}$k，
∴经过点A（4，0）的直线的函数表达式为：y=-$\frac{1}{4}$k（x-4），
∴点B的坐标为：（0，k），
∵一次函数y=x-2k的图象与x轴、y轴分别交于点C、D两点，
∴点C（2k，0），点D（0，-2k），
∴AC=4-2k，BD=-2k-k=-3k，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$BD•AC=$\frac{1}{2}$（-3k）（4-2k）=3k²-6k=3（k-1）²-3，
∵k≤-1，
∴当k=-1时，S_{四边形ABCD}有最小值，最小值等于9．

点评 此题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题、根的判别式以及二次函数的最值问题．注意设经过点A（4，0）的直线的函数表达式为y=m（x-4）（m≠0），利用直线与反比例函数图象只有一个公共点，求得k与m的关系，表示出B，C，D的坐标是关键．