Question

如图，已知AB为⊙O的直径，E是AB延长线上一点，点C是⊙O上的一点，连结EC、BC、AC，且∠BCE=∠BAC．
（1）求证：EC是⊙O的切线．
（2）过点A作AD垂直于直线EC于D，若AD=3，DE=4，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）连结OC，根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠1+∠2=90°，而∠1=∠A，∠A=∠BCE，所以∠BCE=∠1，即∠BCE+∠2=90°，然后根据切线的判定定理即可得到EC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△ADE中利用勾股定理计算出AE=5，则OE=5-r，OC=r，咋证明△EOC∽△EAD，利用相似比得到

OC

AD

=

EO

EA

，即

r

3

=

5-r

5

，然后解方程即可得到圆的半径．

解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，即∠1+∠2=90°，
∵OC=OA，
∴∠1=∠A，
又∵∠A=∠BCE，
∴∠BCE=∠1，
∴∠BCE+∠2=90°，
∴OC⊥EC，
∴EC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
在Rt△ADE中，AD=3，ED=4，AE=

AD2+DE2

=5，
∴OE=5-r，OC=r
∵OC⊥EC，
而AD⊥EC，
∴OC∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴

OC

AD

=

EO

EA

，即

r

3

=

5-r

5

，
∴r=

15

8

，
即⊙O的半径为

15

8

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．