Question

【题目】如图，已知直线的函数表达式为，它与轴、轴的交点分别为两点．

（1）若的半径为2，说明直线与的位置关系；

（2）若的半径为2，经过点且与轴相切于点，求圆心的坐标；

（3）若的内切圆圆心是点，外接圆圆心是点，请直接写出的长度．

Answer 1

【答案】（1）直线AB与⊙O的位置关系是相离；（2）（，2）或（-，2）；（3）

【解析】

（1）由直线解析式求出A（-4，0），B（0，3），得出OB=3，OA=4，由勾股定理得出AB==5，过点O作OC⊥AB于C，由三角函数定义求出OC=＞2，即可得出结论；

（2）分两种情况：①当点P在第一象限，连接PB、PF，作PC⊥OB于C，则四边形OCPF是矩形，得出OC=PF=BP=2，BC=OB-OC=1，由勾股定理得出PC=，即可得出答案；②当点P在的第二象限，根据对称性可得出此时点P的坐标；

（3）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，得出MC=MD=ME=OD=（OA+OB-AB）=1，求出BE=BD=OB-OD=2，由直角三角形的性质得出△ABO外接圆圆心N在AB上，得出AN=BN=AB=，NE=BN-BE=，在Rt△MEN中，由勾股定理即可得出答案．

解：（1）∵直线l的函数表达式为y=x+3，

∴当x=0时，y=3；当y=0时，x=4；

∴A（﹣4，0），B（0，3），

∴OB=3，OA=4，

AB==5，

过点O作OC⊥AB于C，如图1所示：

∵sin∠BAO=，

∴，

∴OC=＞2，

∴直线AB与⊙O的位置关系是相离；

（2）如图2所示，分两种情况：

①当点P在第一象限时，连接PB、PF，作PC⊥OB于C，

则四边形OCPF是矩形，

∴OC=PF=BP=2，

∴BC=OB﹣OC=3﹣2=1，

∴PC=，

∴圆心P的坐标为：（，2）；

②当点P在第二象限时，

由对称性可知，在第二象限圆心P的坐标为：（-，2）．

综上所知，圆心P的坐标为（，2）或（-，2）．

（3）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，如图3所示：

则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，

∴MC=MD=ME=OD=（OA+OB﹣AB）=×（4+3﹣5）=1，

∴BE=BD=OB﹣OD=3﹣1=2，

∵∠AOB=90°，∴△ABO外接圆圆心N在AB上，

∴AN=BN=AB=，∴NE=BN﹣BE=﹣2=，

在Rt△MEN中，

MN=．