Question

如图，在平面直角坐标系中,抛物线y=-x²+2x+c与y铀交于点D(0，3)。
（1）直接写出c的值。
（2）若抛物线与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧)，顶点为C点,求直线BC的解析式。
（3）已知点P是直线BC上运动时的一个动点。    
①当点P在线段BC上运动时(点P不与B、C重合)，过点P作PE⊥y轴，垂足为 E，连接BE。设点P的坐标为(x，y)，△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；    
②试探索：在直线BC上是否存在点P，使得以点P为圆心、r为半径的⊙P，既与抛物线的对称轴相切，又与以点 C为圆心、1为半径的⊙C外切？如果存在，试求r的值，并直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由。
[提示：二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为]

Answer 1

解：( 1 ) c = 3. (2)由(1)知抛物线的解析式为y=， 配方得y=-（x-1）2+4， ∴顶点 C 的坐标为(1，4)         令y=0，解得 ， ∴B(3，0).             设直线BC的解析式为y = kx + b(k≠0)， 把B、C两点的坐标代入， 得 解得 ∴直线BC的解析式为y=-2x +6.       (3)①点P(x，y)在y= - 2x +6的图象上， ∴PE = x，OE = -2x+6，                     ∴S =PE. OE =x(一2x +6)=-x2+ 3x，  ∴ S = - x2+ 3x( 1 < x < 3 ) ,                  S=+ 3x( 1 < x < 3 ) ,                 x=符合1 <x<3， ∴ 当x =时，S取得最大值，最大为   ②存在.                                     如图，设抛物线的对称轴交x轴于点F， 则 CF =4，BF =2.  过P作PQ⊥CF于Q， 则Rt△CPQ∽Rt△CBF , ∴, 即， ∴CQ=2r             当⊙P与⊙C外切时，CP=r+1 。 ∵, ∴解得，（舍去）       ∴P点的横坐标为，或。 此时，.