题目内容
已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数
的图象与x轴交于点A，抛物线
经过O、A两点。
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得
？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
（1）解法一：∵一次函数
的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4，0）
∵抛物线
经过O、A两点
解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴点A的坐标为（4，0）
∵抛物线经过O、A两点
∴抛物线的对称轴为直线
（2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA
∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO
又由（1）知抛物线的解析式为
∴点D的坐标为（
）
①当
时，
如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为
，它沿x轴翻折后所得劣弧为
，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'
∴点D'与点D也关于x轴对称
∵点O在⊙D'上，且⊙D与⊙D'相切
∴点O为切点 ∴D'O⊥OD
∴∠DOA＝∠D'OA＝45°
∴△ADO为等腰直角三角形 
∴点D的纵坐标为-2
∴抛物线的解析式为
②当
时，
同理可得：
抛物线的解析式为
综上，⊙D半径的长为
，抛物线的解析式为或
（3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得
设点P的坐标为（x，y），且y＞0
① 当点P在抛物线上时（如图2）
∵点B是⊙D的优弧上的一点
过点P作PE⊥x轴于点E
由
解得：
（舍去）
∴点P的坐标为
②当点P在抛物线上时（如图3）
同理可得，
由
解得：
（舍去）
∴点P的坐标为
综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为：
或
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