Question

15．BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD=1，tan∠ABD=$\sqrt{3}$，则CD的长为2$+\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 分两种情况：①如图1，∠A为钝角，AB=AC，在R_t△ABD中，根据锐角三角函数的定义即可得到结果；②如图2，∠A为锐角，AB=AC，在R_t△ABD中根据锐角三角函数的定义即可得到结果；③如图3，∠A为底角，由tan∠ABD=$\sqrt{3}$，得到∠ABD=60°于是得到∠A=30°，求得∠C=120°，在R_t△BCD中根据锐角三角函数的定义即可得到结果．

解答 解：分三种情况：
①如图1，∠A为钝角，AB=AC，
在R_t△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{3}$，AB=2，
∴AC=2，
∴CD=2+$\sqrt{3}$，
②如图2，∠A为锐角，AB=AC，
在R_t△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{3}$，AB=2，
∴AC=2，
∴CD=2-$\sqrt{3}$，
③如图3，∠A为底角，
∵tan∠ABD=$\sqrt{3}$，
∴∠ABD=60°，
∴∠A=30°，
∴∠C=120°，
∴∠BCD=60°
∵BD=1，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
④∠C为锐角且为顶角时，
如图4，∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵tan∠ABD=$\sqrt{3}$，
∴∠ABD=60°，
∴∠A=30°，
∵∠CBA=∠A=30°，∴∠C=120°＞90°，
∴这种情况不存在；
综上所述；CD的长为：2$+\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：2$+\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，难点在于要分情况讨论．