Question

13．如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以AC为边作等边△ACE，M为AE的中点．求证：BM⊥DM．

Answer 1

分析 连接OM、DE，先证明O、D、E在一条直线上，再证明OA=OM=AM=OD=OB，证出∠AOM=60°，∠DOM=30°，得出∠OMB=15°，∠OMD=75°，证出∠BMD=90°，即可得出结论．

解答 证明：连接OM、DE，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，△ACE是等边三角形，
∴AD=CD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，AC=AE=CE，
∴∠AOD=90°，D、E都在AC的垂直平分线上，
∴O、D、E在一条直线上，
∵M是AE的中点，
∴OM=$\frac{1}{2}$AE=AM，
∴OA=OM=AM=OD=OB，
∴∠AOM=60°，
∴∠DOM=30°，
∴∠OMB=15°，∠OMD=75°，
∴∠BMD=90°，
∴BM⊥DM．

点评 本题考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的中线性质；证明三点共线和等边三角形是解决问题的关键．