Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点为A（0，1），与x轴的一个交点B的坐标为（2，0），点P在抛物线上，它的横坐标为2n（0<n<1），作PC⊥x轴于C，PC交射线AB于点D。

（1）求抛物线的解析式；
（2）用n的代数式表示CD、PD的长，并通过计算说明与的大小关系；
（3）若将原题中“0<n<1”的条件改为“n>1”，其他条件不变，请通过计算说明（2）中的结论是否仍然成立。

Answer 1

解：（1）如图（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（0，1），经过（2，0）点， ∴y=ax2+1，又4a+1=0，解得a=-，∴抛物线的解析式为y=-x2+1；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b ∵A（0，1），B（2，0）， b=1，2k+b=0，解得：k=-1/2，b=1， ∴直线AB的解析式为y=-1/2x+1， ∵点P在抛物线上，它的横坐标为2n（0<n<1）， ∴点P的坐标为（2n，1-n2），且点P在第一象限， 又∵PC⊥x轴于C，PC交射线AB于点D， ∴xD=OC=2n，yD=-1/2×2n+1=1-n，且点D在第一象限， ∴CD=-n，PD=yP-yD=（1-n2）-（1-n）=n -n2=n（1-n）， ，
（3）当n>1时，P、D两点在第四象限，且P点在D点下方（如图（2））， yD>yP点，P的坐标为（2n，1-n2） ∵xD=OC=2n ∴yD=-1/2×2n+1=1-n ∵D点在第四象限， ∴CD=-yD=n-1， PD=yD-yP=（1-n）-（1-n2）=n（n-1）， ∵n>1， ∴， ，仍然成立。