题目内容
如图，已知二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数y=
上，且与x轴交于AB两点。
（1）若二次函数的对称轴为x=-
，试求a，c的值；
（2）在（1）的条件下求AB的长；
（3）若二次函数的对称轴与x轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式。
上，且与x轴交于AB两点。（1）若二次函数的对称轴为x=-
，试求a，c的值；（2）在（1）的条件下求AB的长；
（3）若二次函数的对称轴与x轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式。
解：（1）∵二次函数的对称轴为x=-
，
∴-
，
解得a=2，
∵二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数y=
上，
∴顶点为（-
，c-
），
∴（c-
）=-3，
解得c=-
，
∴二次函数的解析式为
；
（2）∵二次函数的解析式为；
∴令y=0，
=0；
解得x=
，
∴AB=
；
（3）根据对称轴x=-
，
当x=-
时，y=-3a，
∴NO+MN=
+3a≥2
，
当3a=
时NO+MN最小，即3a2=1时，a=
，
∴此时二次函数的解析式为
。
， ∴-
，解得a=2，
∵二次函数y=ax2+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数y=
上， ∴顶点为（-
，c-），∴
（c-）=-3，解得c=-
， ∴二次函数的解析式为
；（2）∵二次函数的解析式为
； ∴令y=0，
=0；解得x=
，∴AB=
；（3）根据对称轴x=-
，当x=-
时，y=-3a，∴NO+MN=
+3a≥2，当3a=
时NO+MN最小，即3a2=1时，a=，∴此时二次函数的解析式为
。
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