Question

如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°．点E，F分别是边AB，AD上的点，且满足，连结EF．

 （1）若AF=1，求EF的长；

 （2）取CE的中点M，连结BM，FM，BF．求证：；

 （

F

3）如图2，若点E，F分别是边AB，AD延长线上的点，其它条件不变，结论是否仍然成立（不需证明）．

Answer 1

（1）解：∵四边形ABCD是菱形，

            ∴ AB = AD = BC= DC，．

            又∵，

∴△CBE≌△CDF．

∴BE=DF．

又∵AB =AD，∴AB－BE =AD－DF，即AE=AF．

又∵∠A=60°，∴△AEF是等边三角形．

∴EF=AF．

∵AF=1，∴EF=1．

（2）证明：延长BM交DC于点N，连结FN．（如答图）

∵四边形ABCD是菱形，

∴，

∴,．

∵点M是CE的中点，

∴CM=EM．

∴△CMN≌△EMB．

∴NM=MB，CN=BE．

又∵AB = DC．∴DC－CN=AB－BE， 即DN=AE．

∵是等边三角形，∴，EF=AE．

∴，EF=DN．

∵，∴．

又∵∠A=60°，∴，

∴．

又∵DN=EF，BE=DF．

∴△FDN≌△BEF．

∴FN=FB，

又∵NM=MB，∴．

（3）结论仍然成立