Question

我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是。
（1）对于这样的抛物线：
当顶点坐标为（1，1）时，a=       ；
当顶点坐标为（m，m），m≠0时，a 与m之间的关系式是       ；
（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线上，请用含k的代数式表示b；
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A₁，A₂，…，A_n在直线上，横坐标依次为1，2，…，n（n为正整数，且n≤12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B₁，B₂，B₃，…，B_n，以线段A_nB_n为边向右作正方形A_nB_nC_nD_n，若这组抛物线中有一条经过点D_n，求所有满足条件的正方形边长。

Answer 1

（1）－1；（2）（3）3，6，9

解：（1）－1；。
（2）∵过原点的抛物线顶点在直线上，∴。
∵b≠0，∴。
（3）由（2）知，顶点在直线上，横坐标依次为1，2，…，n（n为正整数，且n≤12）的抛物线为：，即。
对于顶点在在直线上的一点A _m（m，m）（m为正整数，且m≤n），依题意，作的正方形A_mB_mC_mD_m边长为m，点D_m坐标为（2 m，m），
若点D_m在某一抛物线上，则
，化简，得。
∵m，n为正整数，且m≤n≤12，∴n=4，8，12，m=3，6，9。
∴所有满足条件的正方形边长为3，6，9。
（1）当顶点坐标为（1，1）时，由抛物线顶点坐标公式，有，即。
当顶点坐标为（m，m），m≠0时，。
（2）根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将抛物线顶点坐标代入，
化简即可用含k的代数式表示b。
由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标。
（3）将依题意，作的正方形A_mB_mC_mD_m边长为m，点D_m坐标为（2 m，m），将（2 m，m）代入抛物线求出m，n的关系，即可求解。