Question

4．图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图2是其侧面示意图（MN是二楼楼顶，PQ是一楼地面，MN∥PQ），已知自动扶梯AB的坡度为1：2，长度为5$\sqrt{5}$米，C是自动扶梯顶端B正上方且在二楼楼顶上的一点，此时在自动扶梯底端A点处测得C点的仰角为60°，求二楼的层高BC．（结果保留根号）

Answer 1

分析 延长CB交PQ于点D，根据自动扶梯AB的坡度为1：2可设BD=k，则AD=2k米，AB=$\sqrt{5}$k米．再由AB=5$\sqrt{5}$米求出k的值，故可得出BD及AD的长，在Rt△CDA中，根据锐角三角函数的定义求出CD的长，由BC=CD-BD即可得出结论．

解答 解：延长CB交PQ于点D，
∵MN∥PQ，BC⊥MN，
∴BC⊥PQ．
∵自动扶梯AB的坡度为1：2，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$．
设BD=k，则AD=2k米，AB=$\sqrt{5}$k米．
∵AB=5$\sqrt{5}$米，
∴k=5，
∴BD=5米，AD=10米．
在Rt△CDA中，
∵∠CDA=90°，∠CAD=60°，
∴CD=AD•tan∠CAD=10×$\sqrt{3}$=10$\sqrt{3}$（米），
∴BC=CD-BD=（10$\sqrt{3}$-5）米．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．