Question

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B。
（1）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；
（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）线段AB长度的最小值为4， 理由如下： 连接OP， ∵AB切⊙O于P， ∴OP⊥AB， 取AB的中点C，则AB=2OC； 当OC=OP时，OC最短， 即AB最短，此时AB=4； （2）设存在符合条件的点Q， 如图①，设四边形APOQ为平行四边形； ∵∠APO=90°， ∴四边形APOQ为矩形， 又∵OP=OQ， ∴四边形APOQ为正方形， ∴OQ=QA，∠QOA=45°； 在Rt△OQA中，根据OQ=2，∠AOQ=45°， 得Q点坐标为（，-）； 如图②，设四边形APQO为平行四边形； ∵OQ∥PA，∠APO=90°， ∴∠POQ=90°， 又∵OP=OQ， ∴∠PQO=45°， ∵PQ∥OA， ∴PQ⊥y轴； 设PQ⊥y轴于点H， 在Rt△OHQ中，根据OQ=2，∠BQO=45°， 得Q点坐标为（-，）， ∴符合条件的点Q的坐标为（，-）或（-，）。