Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD=25，AB=12，点E、F分别是AD、BC上的点，且DE=CF=9，连接EF、DF、AF．取AF的中点为G，连接BG，将△BFG沿BC方向平移，当点F到达点C时停止平移，然后将△GFB绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△B1CG1（点G的对应点为G1，点B的对应点为B1），在旋转过程中，直线B1G1与直线EF、FD分别相交M、N，当△FMN是等腰三角形，且FM=FN时，线段DN的长为 ．

Answer 1

【答案】．

【解析】

试题解析：如图，作FL⊥BG于L，FH⊥MN于H，CK⊥MN于K，CR⊥FH于R．FH交ED于T，作TQ⊥DF于Q．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°，AB=CD=12，AD=CF=25，

∵DE=CF=9，又∵DE∥CF，

∴四边形DEFC是平行四边形，

∵∠EDC=90°，

∴四边形DEFC是矩形，同理四边形AEFB是矩形，

∴DF==15，AF==20，

∵AG=GF，

∴S△BGF=S△ABF=96=BGLF，

∴FL=，

∵CK=FL，

∴CK=，

∵FM=FN，FH⊥MN，CK⊥MN，CR⊥FH，

∴∠RHK=∠HKC=∠KCR=90°，

∴四边形RHKC是矩形，

∴RH=CK=，

∴∠MFH=∠NFH，

∴TE=TQ，设TE=TQ=x，

在RT△TQD中，∵TQ2+QD2=TD2，

∴x2+32=（9-x）2，

∴x=4，

∴FT=，

∵∠EFT+∠CFR=90°，∠CFR+∠FCR=90°，

∴∠EFT=∠FCR，∵∠FET=∠CFR=90°，

∴△FET∽△CFR，

∴，

∴，

∴RF=，

∴FH=FR+RH=，

∵∠HFN=∠HFM，

∴cos∠HFN=，

∴，

∴FN=3，

∴DN=FN-DF=．