Question

3．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点M是一次函数y=kx+b图象位于第一象限内的一点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若△MON的面积小于△BOD的面积，直接写出点M的横坐标x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A（1，6）代入y=$\frac{m}{x}$即可求出反比例函数的表达式，把B（3，n）代入y=$\frac{6}{x}$即可求出B的坐标，把A、B的坐标代入y=kx+b，求出a、b，即可求出一次函数的表达式；
（2）求出直线和x轴的交点坐标，根据面积得出关于x的不等式，求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）把A（1，6）代入y=$\frac{m}{x}$得：m=6，
即反比例函数的表达式为y=$\frac{6}{x}$，
把B（3，n）代入y=$\frac{6}{x}$得：n=2，
即B的坐标为（3，2），
把A、B的坐标代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=8，
即一次函数的表达式为y=-2x+8；

（2）
设直线y=2x+8与x轴交于C点，
∵M在直线y=-2x+8上，
∴M的坐标为（x，-2x+8），则MN=-2x+8，ON=x，
则C的坐标为（4，0），
即OC=4，
∵B（3，2），
∴OD=3，BD=2，S_BOD=$\frac{1}{2}$×OD×BD=3，
∵△MON的面积小于△BOD的面积，
∴$\frac{1}{2}•x•（-2x+8）$＜3，
整理得：x²-4x+3＞0，
解得：x＜1或x＞3，
∵M点在第一象限，OC=4，
∴0＜x＜1或3＜x＜4，
当△MON的面积小于△BOD的面积时，点M的横坐标x的取值范围是0＜x＜1或3＜x＜4．

点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求出函数的解析式，二次函数的性质等知识点，能正确用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．