Question

如图，已知?ABCD中，AB=30cm，AC=40cm，BC=50cm，边AD的中点为E，有一动点P从点B出发以1cm/秒的速度，沿边BC→CD运动至D点停止，若点P、E、C三点为顶点，构成以EP为腰的等腰△PEC时，运动时间为

 

．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,等腰三角形的判定

专题：动点型

分析：根据勾股定理以及平行四边形的性质得出EH，FC的长，再利用当构成以EP为腰的等腰△PEC时有：①P₁E=P₁C，②P₃E=CE，③P₄E=P₄C，④P₆E=CE，进而得出答案．

解答：解：如图：
∵AB=30cm，AC=40cm，BC=50cm
∴AB²+AC²=BC²
∴△ABC和△ACD是Rt△
作CF⊥AB，EH⊥CD
∴△ACD∽△CFD
∴

FD

DC

=

FC

AC

=

CD

AD

，
∴FD=

DC2

AD

=

302

50

=18，
FC=

AC•DC

AD

=40×30÷50=24，
∵边AD的中点为E，
∴DE=25，
∴EF=DE-FD=25-18=7，
∴CE=

CF2+EF2

=25=CD，
∴CH=

1

2

CD=15，
∴EH=

CE2-CH2

=20（cm），
当构成以EP为腰的等腰△PEC时有：①P₁E=P₁C，②P₃E=CE，③P₄E=P₄C，④P₆E=CE
①P₁E=P₁C，
 CG=EF=7，EG=CF=24，
∴在Rt△P₁GE中有：（P₁C-CG）²+EG²=P₁E²
  即：（（P₁C-7）²+24²=P₁C²
  解得：P₁C=

625

14

，
∴BP₁=BC-P₁C=50-

625

14

=

75

14

（cm），
∴t₁=

75

14

÷1=

75

14

（s）
②P₃E=CE时有P₃C=2CG=2EF=14
∴BP₃=BC-P₃C=50-14=36
∴t₂=36÷1=36（s）
③P₄E=P₄C时有：∵P₄H²+EH²=P₄E²
∴（P₄C-15）²+20²=P₄C²
 解得：P₄C=

125

6

，
故t₃=（BC+P₄C）÷1=50+

125

6

=

425

6

（s）
④P₆E=CE时有P₆C=CD=30
∴t₄=（BC+CD）÷1=80（s）
综上，当

75

14

秒或36秒或

425

6

秒或80秒时构成以EP为腰的等腰△PEC．
故答案为：

75

14

秒或36秒或

425

6

秒或80秒．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．