Question

如图，抛物线y=-

3

8

x²-

3

4

x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）∠ACB是直角吗？写出你的判断理由；
（3）以AB为直径的圆与y轴负半轴交于点E，求过A，E，B三点的抛物线的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）令y=0，求出x的值，即可得出点A，B的坐标；
（2）分别求出AC、BC、AB的长度，判断是否符合勾股定理，即可判断∠ACB是否为直角；
（3）根据题意作出圆，求出点E的坐标，运用待定系数法求出过A，E，B三点的抛物线的解析式．

解答：解：（1）令y=0，
则-

3

8

x²-

3

4

x+3=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，
即点A，B的坐标分别为（-2，0），（4，0）；

（2）令x=0，
解得：y=3，
即点C（0，3），
则OC=3，
∵OA=4，OB=2，
∴AC=

OA2+OC2

=5，BC=

OC2+OB2

=

13

，
∴AC²+BC²=25+13=38，
∵AB²=6²=36≠AC²+BC²，
∴∠ACB不是直角；

（3）由题意得，M（-1，0），ME=3，
则OE=

ME2-OM2

=2

2

，
即点E（0，-2

2

），
设过A，E，B三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
则有

c=-2 2 16a-4b+c=0 4a+2b+c=0

，
解得：

a= 2 4 b= 2 2 c=-2 2

，
即过A，E，B三点的抛物线的解析式为：y=

2

4

x²+

2

2

x-2

2

．

点评：本题考查了二次函数的综合应用，涉及了勾股定理、待定系数法求函数解析式等知识，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．