Question

18．如图，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ADF∽△EAB．
（2）若AB=4，AD=6，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，由平行线的性质得出∠DAF=∠AEB，证出∠AFD=∠B，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AE，由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出DF的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=90°=∠B，
∴△ADF∽△EAB．
（2）解：∵BC=AD=6，E是BC边的中点，
∴BE=3，
∴AE=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由（1）得：△ADF∽△EAB，
∴$\frac{DF}{AB}=\frac{AD}{AE}$，
即$\frac{DF}{4}=\frac{6}{5}$，
解得：DF=$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、平行线的性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．