Question

如图，∠AOB=90°，OP平分∠AOB，一个45°角的顶点与P重合，角的两边分别与射线OA交于点C、与射线OB交于点D，设OP=a，△COD的周长为c，问当∠CPD旋转时，

a

c

的值是否会发生变化？若不变，求出

a

c

的值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析：作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，先得到四边形OEPF为正方形，根据正方形的性质得OE=OF=PE=PF=

2

2

OP=

2

2

a，∠EPF=∠PFO=90°，则可把△PEC绕点P逆时针旋转90°得到△PFG，根据旋转的性质得∠PFG=∠PEC=90°，FG=EC，∠COG=90°，则FG在OF的延长线上，所以DG=DF+FG，然后证明△CPD≌△DPG，
得到CD=DG，再利用等线段代换得到c=

2

a，则

a

c

=

2

2

．

解答：解：∠CPD旋转时，

a

c

的值不会发生变化，

a

c

的值为

2

2

．
作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，
∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，
∴四边形OEPF为正方形，
∴OE=OF=PE=PF=

2

2

OP=

2

2

a，∠EPF=∠PFO=90°，
∴把△PEC绕点P逆时针旋转90°得到△PFG，如图，
∴∠PFG=∠PEC=90°，FG=EC，∠COG=90°，
∴FG在OF的延长线上，
∴DG=DF+FG，
∵∠CPD=45°，
∴∠DPG=45°，
在△CPD和△DPG中，

PC=PG ∠CPD=∠GPD PD=PD

，
∴△CPD≌△DPG（SAS），
∴CD=DG，
∴c=OC+OD+CD=OC+OD+DG=OC+OD+DF+FG=OC+FC+OD+DF=OE+OF=2OE=

2

a，
∴

a

c

=

a

2 a

=

2

2

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．