Question

【题目】如图，矩形纸片ABCD中，AD= 1,AB一2.将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB、CD交于点G、F,AE与FG交于点仪当触ED的外接圆与BC相切于BC的中点N.则折痕FG的长为________

Answer 1

【答案】

【解析】试题解析：设AE与FG的交点为O．

根据轴对称的性质，得AO=EO．

取AD的中点M，连接MO．

则MO=DE，MO∥DC．

设DE=x，则MO=x，

在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，

∴AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心．

延长MO交BC于点N，则ON∥CD．

∴∠CNM=180°-∠C=90°．

∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形．

∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-x．

∵△AED的外接圆与BC相切，

∴ON是△AED的外接圆的半径．

∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．

在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，

∴12+x2=（4-x）2．

解这个方程，得x=．

∴DE=，OE=2-x=．

根据轴对称的性质，得AE⊥FG．

∴∠FOE=∠D=90°．可得FO=．

又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．

∴△FEO≌△GAO．∴FO=GO．

∴FG=2FO=．

∴折痕FG的长是.