题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形
的两边
、
分别在
轴、
轴的正半轴上，
，
.点
从点
出发，沿轴以每秒2个单位长的速度向点
匀速运动，当点到达点时停止运动，设点运动的时间是
秒．将线段
的中点绕点按顺时针方向旋转
得点
，点随点的运动而运动，连接
、
，过点作
，交于点
．
（1）求证：
∽
；
（2）请用含的代数式表示出点的坐标；
（3）求为何值时，
的面积最大，最大为多少？
（4）在点从向运动的过程中，点与点所在的直线能否平分矩形的面积？若能，求的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）
点坐标为
；（3）当
时，S最大
；（4）能，
．
【解析】
（1）根据余角的性质可得
，进一步即可证得结论；
（2）由题意得
，
，然后根据相似三角形的性质可得DQ、PQ的长，进而可得结果；
（3）先用含t的代数式表示出
的面积，再根据二次函数的性质求解即可；
（4）若点
与点所在的直线平分矩形
的面积，则直线AD必过点C，故只要根据待定系数法求出直线AD的解析式，再把点D的坐标代入即可求出相应的t的值．
（1）证明：∵四边形是矩形，
，
∴
，
，
∵
，∴
，
∴，
∴
∽
；
（2）解：由题意知：点
从点
出发，沿
轴以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，
∴，∴
，
∵∽，，
∴
，
∴
，
，
∴点坐标为；
（3）解：∵，
，∴
，
∴
，
∴当时，S最大；
（4）解：能．当直线
过点
时，点与点所在的直线平分矩形的面积．
∵，
，∴点
，
，
设直线
的解析式为：
，把A、C两点代入，得：
，解得：
，
∴直线的解析式为：
，
∵点在直线上，∴
，解得：.
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