题目内容
如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）。
（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标。
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标。
| 解：（1）∵点D是OA的中点 ∴OD=2， ∴OD=OC 又∵OP是∠COD的角平分线， ∴∠POC=∠POD=45°， ∴△POC≌△POD， ∴PC=PD。 （2）过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求 易知点F的坐标为（2，2），故BF=2，作PM⊥BF， ∵△PBF是等腰直角三角形， ∴PM=  BF=1，∴点P的坐标为（3，3） ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx 又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0）， ∴有  解得  ∴抛物线的解析式为  。（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点 连接EC，它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE+PD=EC，而两点之间线段最短）， 此时△PED的周长最小 ∵抛物线y=x2-2x的顶点E的坐标（1，-1），C点的坐标（0，2）， 设CE所在直线的解析式为y=kx+b 则有  解得  ∴CE所在直线的解析式为y=-3x+2 点P满足  解得  故点P的坐标为  △PED的周长即是  。（4）存在点P，使∠CPN=90度，其坐标是  或 。 |
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