如图.在矩形OABC中.已知A.C两点的坐标分别为A.D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点．(1)试证明:无论点P运动到何处.PC总与PD相等,(2)当点P运动到与点B的距离最小时.试确定过O.P.D三点的抛物线的解析式,中所确定抛物线的顶点.当点P运动到何处时.△PDE的周长最小?求出此时点P的坐标和△PDE的周长,(4)设点N是矩形OABC的对称� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC

平分线上的一个动点（不与点O重合）．
（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标．

分析：本题综合考查了三角形全等、一次函数、二次函数，及线段最短和探索性的问题．
（1）通过△POC≌△POD而证得PC=PD．
（2）首先要确定P点的位置，再求出P、F两点坐标，利用待定系数法求的抛物线解析式；
（3）此问首先利用对称性确定出P点位置是EC与∠AOC的平分线的交点，再利用抛物线与直线CE的解析式求出交点P的坐标．进而求的△PED的周长；
（4）要使∠CPN=90°，则P点是以CN的中点为圆心以CN为直径的圆与角平分线的交点，由此就易于写出P点的坐标．

解答：

解：（1）∵点D是OA的中点，
∴OD=2，
∴OD=OC．
又∵OP是∠COD的角平分线，
∴∠POC=∠POD=45°，
∴△POC≌△POD，
∴PC=PD．

（2）过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求．
易知点F的坐标为（2，2），故BF=2，作PM⊥BF，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PM=

BF=1，
∴点P的坐标为（3，3）．
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为y=ax²+bx．
又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0），
∴有

9a+3b=3

4a+2b=0

解得

a=1

b=-2

∴抛物线的解析式为y=x²-2x；

（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点．
连接EC，它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE+PD=EC，而两点之间线段最短），此时△PED的周长最小．
∵抛物线y=x²-2x的顶点E的坐标（1，-1），C点的坐标（0，2），
设CE所在直线的解析式为y=kx+b，
则有

k+b=-1

b=2

，
解得

k=-3

b=2

．
∴CE所在直线的解析式为y=-3x+2．
点P满足

y=-3x+2

y=x

，
解得

，
故点P的坐标为(

，

)．
△PED的周长即是CE+DE=

；

（4）假设存在符合条件的P点．矩形的对称中心为对角线的交点，故N（2，1）．
①当P点在N点上方时，由（2）知F（2，2），且∠NFC=90°，显然F点符合P点的要求，故P（2，2）；
②当P点在N点下方时，设P（a，a），则：∵C（0，2），N（2，1），∴由勾股定理得，CP²+PN²=CN²，即a²+（a-2）²+（2-a）²+（1-a）²=5，即4a²-10a+4=0，解得a=

或a=2，故P（

，

），
综上可知：存在点P，使∠CPN=90度．其坐标是(

，

)或（2，2）．

点评：函数与四边形或三角形的综合考查，是近几年中考的一个热点问题．对于这类问题，通常需要学生熟悉掌握多边形与函数的概念与性质及两者之间的联系．