Question

（2012•烟台）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC=

2

5

，求

S△CBD

S△ABC

的值．

Answer 1

分析：（1）首先连接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，则可证得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可证得CF是⊙O的切线；
（2）由垂径定理可得CE=DE，即可得S_△CBD=2S_△CEB，由△ABC∽△CBE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE与△ABC的面积比，继而可求得

S△CBD

S△ABC

的值．

解答：（1）证明：连接OC．
∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=∠BAF．
∴OC∥AF．
∴CF⊥OC．
∴CF是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．
∴S_△CBD=2S_△CEB，∠BAC=∠BCE，
∴△ABC∽△CBE．
∴

S△CBE

S△ABC

=(

BC

AB

)2=（sin∠BAC）²=(

2

5

)2=

4

25

．
∴

S△CBD

S△ABC

=

8

25

．

点评：此题考查了切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．