Question

1．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点I，I₁，I₂分别为△ABD，△ACD的内心，求证：AI⊥I₁I₂．

Answer 1

分析 连结AI₁、AI₂、BI，BI的延长线交AI₂于H，如图，根据内心的性质得点I₁在BI上，∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠I₂AD=$\frac{1}{2}$∠CAD，∠4=$\frac{1}{2}$∠ABD，则∠I₁AI₂=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠CAD）=45°，再利用三角形外角性质得∠3=∠1+∠4=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠ABD）=45°，于是根据三角形内角和得∠I₁HA=90°，即BI⊥AI₂，同理可得CI⊥AI₁，则可判断I为△AI₁I₂的垂心，于是得到AI⊥I₁I₂．

解答 证明：连结AI₁、AI₂、BI，BI的延长线交AI₂于H，如图，
∵点I，I₁，I₂分别为△ABC，△ABD，△ACD的内心，
∴点I₁在BI上，∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠I₂AD=$\frac{1}{2}$∠CAD，∠4=$\frac{1}{2}$∠ABD，
∴∠I₁AI₂=∠2+∠I₂AD=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠CAD）=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∵∠3=∠1+∠4，
∴∠3=$\frac{1}{2}$（∠BAD+∠ABD）=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠I₁HA=90°，
∴BI⊥AI₂，
同理可得CI⊥AI₁，
∴I为△AI₁I₂的垂心，
∴AI⊥I₁I₂．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．