题目内容
已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．（1）当t为多少时，DE=2DF；
（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；
若不能，请说明理由．
分析：（1）根据DE=AD-t=6-t，DF=2t，即可求解；
（2）由四边形DEBF的面积=矩形的面积-S△ABE-S△BCF即可证明；
（3）假设以点D、E、F为顶点的三角形能与△BCD相似，那么根据
=
或
=
，即可求出t的值；
（2）由四边形DEBF的面积=矩形的面积-S△ABE-S△BCF即可证明；
（3）假设以点D、E、F为顶点的三角形能与△BCD相似，那么根据
| ED |
| BC |
| DF |
| DC |
| ED |
| CD |
| DF |
| BC |
解答：解：（1）由题意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，
∴6-t=2×2t，解得t=
，
故当t=
时，DE=2DF；
（2）∵矩形ABCD的面积为：12×6=72，S△ABE=
×12×t=6t，
S△BCF=
×6×（12-2t）=36-6t，
∴四边形DEBF的面积=矩形的面积-S△ABE-S△BCF=72-6t-36+6t
=36，故四边形DEBF的面积为定值；
（3）设以点D、E、F为顶点的三角形能与△BCD相似，则
=
或
=
，
由ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6，代入解得：t=12（舍去）或t=6（舍去）或t=
，
故当t=
时，以点D、E、F为顶点的三角形与△BCD相似．
∴6-t=2×2t，解得t=
| 6 |
| 5 |
故当t=
| 6 |
| 5 |
（2）∵矩形ABCD的面积为：12×6=72，S△ABE=
| 1 |
| 2 |
S△BCF=
| 1 |
| 2 |
∴四边形DEBF的面积=矩形的面积-S△ABE-S△BCF=72-6t-36+6t
=36，故四边形DEBF的面积为定值；
（3）设以点D、E、F为顶点的三角形能与△BCD相似，则
| ED |
| BC |
| DF |
| DC |
| ED |
| CD |
| DF |
| BC |
由ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6，代入解得：t=12（舍去）或t=6（舍去）或t=
| 3 |
| 2 |
故当t=
| 3 |
| 2 |
点评：本题考查了相似三角形的性质及三角形的面积，难度适中，关键是掌握用分类讨论的思想进行求解．
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若不能，请说明理由．