题目内容

已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．
（1）当t为多少时，DE=2DF；
（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．

解：（1）由题意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，
∴6-t=2×2t，解得t= $\text{[math]}$ ，
故当t= $\text{[math]}$ 时，DE=2DF；

（2）∵矩形ABCD的面积为：12×6=72，S_△ABE= $\text{[math]}$ ×12×t=6t，
S_△BCF= $\text{[math]}$ ×6×（12-2t）=36-6t，
∴四边形DEBF的面积=矩形的面积-S_△ABE-S_△BCF=72-6t-36+6t
=36，故四边形DEBF的面积为定值；

（3）设以点D、E、F为顶点的三角形能与△BCD相似，则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
由ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6，代入解得：t=12（舍去）或t=6（舍去）或t= $\text{[math]}$ ，
故当t= $\text{[math]}$ 时，以点D、E、F为顶点的三角形与△BCD相似．
分析：（1）根据DE=AD-t=6-t，DF=2t，即可求解；
（2）由四边形DEBF的面积=矩形的面积-S_△ABE-S_△BCF即可证明；
（3）假设以点D、E、F为顶点的三角形能与△BCD相似，那么根据 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即可求出t的值；
点评：本题考查了相似三角形的性质及三角形的面积，难度适中，关键是掌握用分类讨论的思想进行求解．