Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，且12a+5c=0。

（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动。
①移动开始后第t秒时，设S=PQ²（cm²），试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标，如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）据题意知：A（0，-2），B（2，-2），
∵A点在抛物线上，
∴C=-2，
∵12a+5c=0，
∴a=，
由AB=2知抛物线的对称轴为：x=1，
即：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ²=PB²+BQ²=（2-2t）²+t²，即S=5t²-8t+4（0≤t≤1）；
②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，
∵S=5t²-8t+4（0≤t≤1），
∴S=（0≤t≤1），
∴当t=时，S取得最小值，
这时PB=2-=0.4，BQ=0.8，P（1.6，-2），Q（2，-1.2）
分情况讨论：
A】假设R在BQ的右边，这时QR平行且等于PB，则：
R的横坐标为2.4，R的纵坐标为-1.2，即（2.4，-1.2）
代入，左右两边相等，
∴这时存在R（2.4，-1.2）满足题意；
B】假设R在BQ的左边，这时PR平行且等于QB，则：
R的横坐标为1.6，纵坐标为-1.2，即（1.6，-1.2）
代入，左右两边不相等，R不在抛物线上；
C】假设R在PB的下方，这时PR平行且等于QB，则：
R（1.6，-2.4）
代入，左右不相等，R不在抛物线上；
综上所述，存点一点R（2.4，-1.2）满足题意。