Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E.

(1)    求证AE=CE；

(2)    EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；

   （3）若 （n>0），求sin∠CAB.

Answer 1

证明：（1）连接DE，∵∠ABC=90°∴∠ABE=90°，

∴AE是⊙O直径．

∴∠ADE=90°，∴DE⊥AC．

又∵D是AC的中点，∴DE是AC的垂直平分线．

∴AE=CE．

（2）在△ADE和△EFA中，

∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE，

∴△ADE∽△EFA．

∴，

∴．                                  

∴AE=2cm．

（3） ∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，∴∠ADE=∠AEF=90°，

∴Rt△ADE∽Rt△EDF．　　　∴．

∵，AD=CD，∴CF=nCD，∴DF=（1+n）CD， ∴DE=CD．

在Rt△CDE中，CE=CD+DE=CD+（CD） =（n+2）CD．

∴CE=CD．

∵∠CAB=∠DEC，∴sin∠CAB=sin∠DEC ===．