题目内容
2．如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0），C（0，3）两点，点B是抛物线与x 轴的另一个交点，作直线BC．点M是抛物线上一动点，过点M作MD⊥x轴，垂足为点D，交直线BC于点N，连结CM．设点M的横坐标为m，MN的长度为d．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜m＜3时，求d关于m的函数关系式，并求出d的最大值；
（3）当0＜m＜3时，若△CMN是等腰直角三角形，请求出m的值．
分析 （1）把A、C坐标代入可求得抛物线解析式；
（2）先求得直线BC解析式，则可用m表示出N点坐标，则可求得d关于m的函数关系式，再利用函数的性质可求得d的最大值；
（3）由B、C坐标可知OB=OC，可知∠CNM=45°，故当△CMN是等腰直角三角形时有∠CMN=90°或∠MCN=90°，①当∠CMN=90°时，则可知CM∥x轴，可求得M点的纵坐标，则可求得m的值；②当∠MCN=90°时，则C到MN的距离等于MN的一半，利用（2）的函数关系式可得到关于m的方程，可求得m的值．
解答 解：
（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0），C（0，3）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
（2）在y=-x2+2x+3中，令y=0可得0=-x2+2x+3，解得x=-1或x=3，
∴B（3，0），且C（0，3），
∴直线BC解析式为y=-x+3，
设M点横坐标为m，则M（m，-m2+2m+3），N（m，-m+3），
∵0＜m＜3，
∴点M在第一象限内，
∴d=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m=-（m-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{9}{4}$，
∴当m=$\frac{3}{2}$时，d有最大值，d最大=$\frac{9}{4}$；
（3）∵B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴∠CNM=45°，
∴当△CMN是等腰直角三角形时有∠CMN=90°或∠MCN=90°，
①当∠CMN=90°时，如图1，
则可知CM∥x轴，
∴M点的纵坐标为3，即-m2+2m+3=3，解得m=0（舍去）或m=2；
②当∠MCN=90°时，如图2，
过C作CE⊥MN于点E，则MN=2CE，
即-m2+3m=2m，解得m=0（舍去）或m=1，
综上可知m的值为1或2．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中用m表示出MN的长是解题的关键，在（3）中确定出M的位置是解题的关键，注意方程的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
| A． | 1个 | B． | 2个 | C． | 3个 | D． | 4个 |
| A． | $\sqrt{27}$ | B． | $\sqrt{14}$ | C． | $\sqrt{\frac{1}{a}}$ | D． | $\sqrt{3{a}^{2}}$ |
如图，菱形ABCD内两点M、N，满足MB⊥BC，MD⊥DC，NB⊥BA，ND⊥DA，若四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的$\frac{1}{5}$，则cosA=$\frac{2}{3}$．
Rt△AOB在直角坐标系中的位置如图，已知OA=2，OB=4，现在Rt△AOB剪裁一个矩形DEOF，要求D、E、F分别在AB、BO、AO上，怎样剪裁面积最大，最大面积为多少？