Question

6．如图所示，在正方形ABCD中，M为AB的中点，N为AD上的一点，且AN=$\frac{1}{4}$AD，试猜测△CMN是什么三角形，请证明你的结论．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）

Answer 1

分析 可设正方形ABCD的边长为4a，利用勾股定理分别求出NC，MN，CM的值，计算得出MN²+MC²=NC²，根据勾股定理的逆定理可判定△CMN是直角三角形．

解答 解：△CMN是直角三角形．理由如下：
设正方形ABCD的边长为4a，则AB=BC=CD=AD=4a．
∵M是AB的中点，
∴AM=BM=2a．
∵AN=$\frac{1}{4}$AD，AD=4a，
∴AN=a，DN=3a．
∵在Rt△AMN中，满足AM²+AN²=MN²，且AM=2a，AN=a，
∴MN=$\sqrt{5}$a．
同理可得：MC=$\sqrt{20}$a，NC=5a．
∵MN²+MC²=（$\sqrt{5}$a）²+（$\sqrt{20}$a）²=25a²，NC²=（5a）²=25a²，
∴MN²+MC²=NC²，
∴△CMN是直角三角形．

点评 本题考查的是勾股定理及其逆定理，正方形的性质，设正方形ABCD的边长为4a，通过计算得出MN²+MC²=NC²，是解题的关键．