Question

【题目】如图，矩形ABCD中，BC＞AB，E是AD上一点，△ABE沿BE折叠，点A恰好落在线段CE上的点F处．

（1）求证：CF＝DE；

（2）设＝m．

①若m＝，试求∠ABE的度数；

②设＝k，试求m与k满足的关系式．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①∠ABE=15°，②m2＝2k﹣k2．

【解析】

（1）通过折叠前后两个图像全等，然后证明△CED≌△BCF即可；（2）由题知AB=BF，BC=AD通过＝，得出=，判断角度求解即可，由＝m，＝k 的得出边之间的关系，在通过Rt△CED建立勾股定理方程化简即可求出

（1）证明：由折叠的性质可知，∠BEA＝∠BEF，

∵AD∥BC，

∴∠BEA＝∠EBC，

∴∠BEF＝∠EBC，

∴BC＝CE；

∵AB=BF=CD, △CED和△BCF都为直角三角形

∴△CED≌△BCF

∴CF＝DE；

（2）解：①由（1）得BC＝CE

∵BC=AD

∴AD=CE

∵AB=BF

∴＝=

∵BCF都为直角三角形

∴∠FBC=60°

∴∠ABE=

②∵＝k，＝m，

∴AE＝kAD，AB＝mAD，

∴DE＝AD﹣AE＝AD（1﹣k），

在Rt△CED中，CE2＝CD2+DE2，即AD2＝（mAD）2+[AD（1﹣k）]2，

整理得，m2＝2k﹣k2．