Question

19．已知⊙O的弦AB长为2，C是⊙O上一点，若∠ACB=45°，则△ABC的面积的最大值为$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案．

解答 解：过C作CM⊥AB于M，
∵弦AB已确定，
∴要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵CM⊥AB，CM过O，
∴AM=BM（垂径定理），
∴AC=BC，
∵∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，
∴OM=AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴OA=$\sqrt{O{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴CM=OC+OM=$\sqrt{2}$+1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CM=$\frac{1}{2}$×2×（$\sqrt{2}$+1）=$\sqrt{2}$+1．
故答案为：$\sqrt{2}$+1．

点评 此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．注意得到当CM过圆心O时，CM最大是关键．