Question

（本题满分12分， 第（1）小题6分，第（2）小题6分）

如图，在平面直角坐标系内，已知直线与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线图像过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，

（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；

（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．

Answer 1

(1) 对称轴 B(-1，0) ；(2)D

【解析】

试题分析：（1）先求出点A或点C的坐标，然后代入，可得二次函数解析式，然后利用公式或配方可得对称轴方程，令y=0 ，可求出点B的坐标；（2）根据条件分析可得△CAD∽△ABC，然后利用对应边成比例可求出CD的长，从而可求出点D的坐标．

试题解析：解：（1）对于函数，令x=0，则y=4，令y=0，则x=-4，所以点C的坐标为（0，4），点A的坐标为（-4，0），把点C（0，4）代入y=x2+kx+k-1，得k-1=4，解得：k=5，所以此抛物线的解析式为y=x2+5x+4，所以此抛物线的对称轴为．令y=0得x2+5x+4=0，解得：x1=-1，x2=-4，所以点B的坐标为（-1，0）；

（2）如图：

因为A（-4，0），C（0，4），所以OA=OC=4，所以∠OCA=∠OAC．因为∠AOC=90°，OB=1，OC=OA=4，所以AC=，AB=OA-OB=4-1=3．因为点D在y轴负半轴上，所以∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．

又因为∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，所以∠ABC＞∠ADC．所以由条件“以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，所以，即,，解得：CD= ，所以OD=CD-CO= -4= ，所以点D的坐标为（0，- ）．

考点：1.二次函数；2.相似三角形的判定与性质.