Question

【题目】已知抛物线的对称轴与轴的交点横坐标是分式方程的解，若抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点坐标为，连结，若点是线段上的一个动点，求的最小值．

（3）连结过点作轴的垂线在第三象限中的抛物线上取点过点作直线的垂线交直线于点，过点作轴的平行线交于点，已知．

①求点的坐标；

②在抛物线上是否存在一点，使得成立？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①点坐标为点坐标为；②点的坐标为

【解析】

（1）通过解方程求出抛物线对称轴的横坐标，得出，再代入点坐标即可；

（2）作点关于直线的对称点过点作轴交与点、交轴与点，在图示的位置时，有最小值，即可求解；

（3）①，则，即：，求解即可；②求出HP所在的直线表达式与二次函数联立，求得交点即可．

解：（1）抛物线对称轴与轴交点横坐标是的解，

抛物线对称轴为，

抛物线过点

，

抛物线的解析式为

（2）作点关于直线的对称点过点作轴交与点、交轴与点

，

则，

，

在图示的位置时，，

此时为最小值，长度为，

，，

，

在中，，

即的最小值为；

（3）设点的坐标为，

直线表达式的值为，

则直线表达式的值为，

设直线的表达式为:

将点坐标代入上式并解得:，

则点的坐标为，

点的坐标为

过点作轴的平行线交直线于点过点作轴平行线交过点作轴的平行线于点

，

，

则，

即:

，

即:，

解得:或(舍去)

故点坐标为

点坐标为；

过点作轴的平行线交直线于点、交轴于点，作于点，

则:

则，，

设:

则

则，

过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，延长交于点，过点作

则:，

即四边形为正方形，

，

设:，

，，

则

即点坐标为，

则所在的直线表达式为:，

联立并解得:或(舍去)，

故点的坐标为．