题目内容

已知，⊙0的直径AB= $数学公式$ ，点C是⊙0上一点，且BC=1，点D是 $数学公式$ 的中点，则CD=________．

$\text{[math]}$
分析：首先根据题意作出图形，然后连接OD，AC，过点C作CE⊥OD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，易得四边形CEOF是矩形，然后利用三角函数求得DE与CE的长，再利用勾股定理求解，即可求得CD的长；然后分析当D在D′位置时，利用勾股定理即可求得CD′的长．
解答：

解：如图，连接OD，AC，过点C作CE⊥OD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，
∵点D是 $\text{[math]}$ 的中点，
∴OD⊥AB，
∴四边形CEOF是矩形，
∴OE=CF，CE=OF，
∵⊙0的直径AB= $\text{[math]}$ ，
∴∠ACB=90°，
∴AC= $\text{[math]}$ =3
∴在Rt△ABC中，cos∠B= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，sin∠B= $\text{[math]}$ ，
在Rt△BCF中，BF=BC•cos∠B= $\text{[math]}$ ，CF=BC•sin∠B= $\text{[math]}$ ，
∴OF= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CE=OF= $\text{[math]}$ ，DE=OD-OE=OD-CF= $\text{[math]}$ ，
在Rt△CDE中，CD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当D在D′位置时，

∵都是中点，
∴DD′是直径，
∴∠DCD′=90°，
∴CD′= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ．
∴CD= $\text{[math]}$ 或2 $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ 或2 $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．