Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE，DF，DF交AC于点O。则下列结论：①四边形ABCD是正方形；②CO：BE=1:3；③DE=BC;④S四边形OCEF=S△AOD 正确的个数是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①先证明△ABF≌△ECF，得AB＝EC，再得四边形ABEC为平行四边形，进而由∠BAC＝90°，得四边形ABCD是正方形，便可判断正误；

②由△OCF∽△OAD，得OC：OA＝1：2，进而得OC：BE的值，便可判断正误；

③根据BC＝AB，DE＝2AB进行推理说明便可；

④由△OCF与△OAD的面积关系和△OCF与△AOF的面积关系，便可得四边形OCEF的面积与△AOD的面积关系．

解：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴BF＝CF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DE，

∴∠BAF＝∠CEF，

∵∠AFB＝∠CFE，

∴△ABF≌△ECF（AAS），

∴AB＝CE，

∴四边形ABEC是平行四边形，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴四边形ABEC是正方形，故此题结论正确；

②∵OC∥AD，

∴△OCF∽△OAD，

∴OC：OA＝CF：AD＝CF：BC＝1：2，

∴OC：AC＝1：3，∵AC＝BE，

∴OC：BE＝1：3，故此小题结论正确；

③∵AB＝CD＝EC，

∴DE＝2AB，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴AB＝BC，

∴DE＝2×，故此小题结论正确；

④∵△OCF∽△OAD，

∴，

∴，

∵OC：AC＝1：3，

∴3S△OCF＝S△ACF，∵S△ACF＝S△CEF，

∴，

∴，故此小题结论正确．

故选：D．