题目内容

已知抛物线顶点D （0，
1
8
），且经过点A（1，
17
8
）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）点F是坐标原点O关于该抛物线顶点的对称点，坐标为（0，
1
4
）．我们可以用以下方法求线段FA的长度；过点A作AA1⊥x轴，过点F作x轴的平行线，交AA1于A2，则FA2=1，A2A=
17
8
-
1
4
=
15
8
，在Rt△AFA2中，有FA=
12+(
15
8
)2
=
17
8
．已知抛物线上另一点B的横坐标为2，求线段FB的长；
（3）若点P是该抛物线在第一象限上的任意一点，试探究线段FP的长度与点P纵坐标的大小关系，并证明你的猜想．
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分析：（1）根据题意设抛物线顶点式：y=a（x-h）2+k，再将AD两点代入即可得出这条抛物线的解析式；
（2）先将点B的横坐标代入抛物线解析式，求出纵坐标，过点B作BB1⊥x轴，过点F作x轴的平行线，交BB1于B2，求得FB2=2，B2B，在Rt△BFB2中，由勾股定理求出FB=
F
B
2
2
+B
B
2
2
．
（3）
解答：解：（1）设抛物线顶点式：y=a（x-h）2+k，
∵抛物线顶点D （0，
1
8
），且经过点A（1，
17
8
）．
∴a（1-0）2+
1
8
=
17
8
，
解得a=2，
∴这条抛物线的解析式为y=2x2+
1
8
；
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（2）∵点B的横坐标为2，∴点B的纵坐标为
65
8
，
过点B作BB1⊥x轴，过点F作x轴的平行线，交BB1于B2，
∴FB2=2，B2B=
65
8
-
1
4
=
63
8
，
在Rt△BFB2中，∴FB=
F
B
2
2
+B
B
2
2
=
22+(
63
8
)2
=
65
8
．

（3）相等，理由如下：精英家教网
设点P的坐标为（a，2a2+
1
8
），
过点P作PP1⊥x轴，过点F作x轴的平行线，交PP1于P2，
∴FP2=a，P2P=
1
4
-2a2-
1
8
=
1
8
-2a2，
在Rt△PFP2中，∴FP=
F
P
2
2
+P
P
2
2
=
a2+(
1
8
-2a2)2
=
(2a2+
1
8
) 2
=2a2+
1
8
．
∴线段FP的长度与点P纵坐标相等．
点评：本题是一道综合性的题目，考查了用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理二次函数的顶点式等知识点的综合运用，难度较大．
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．
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92
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