题目内容
（2011•岳池县模拟）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线顶点N的坐标为（-1．-
），此抛物线交y轴于B（0，-4），交x轴于A、C两点且A点在C点左边．
（1）求抛物线解析式及A、C两点的坐标．
（2）如果点M为第三象限内抛物线上一个动点且它的横坐标为m，设△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置使得以点
P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
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（1）求抛物线解析式及A、C两点的坐标．
（2）如果点M为第三象限内抛物线上一个动点且它的横坐标为m，设△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，判断有几个位置使得以点
P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．分析：（1）先设出抛物线解析式，根据题意抛物线交y轴于B（0，-4），求出抛物线解析式，再根据抛物线的特点求出它的横坐标，即可求出A和C的坐标；
（2）先作MT⊥x轴于T，再设M（m，n），得出AT、MT、TO、BO的值，即可得出SAMBO的值，再根M点在抛物线上，求出SAMBO的值，然后求出S与m的函数关系式，得出抛物线开口向下，即可求出S的最大值；
（3）根据（2）的相应的条件，可以直接得出点此时Q的坐标；
（2）先作MT⊥x轴于T，再设M（m，n），得出AT、MT、TO、BO的值，即可得出SAMBO的值，再根M点在抛物线上，求出SAMBO的值，然后求出S与m的函数关系式，得出抛物线开口向下，即可求出S的最大值；
（3）根据（2）的相应的条件，可以直接得出点此时Q的坐标；
解答：
解：（1）设抛物线解析式为：
∵抛物线交y轴于B（0，-4）
∴a-
=-4，
∴a=
∴抛物线解析式为：
y=
(x+1)2-
或y=
x2+x-4
令y=0得：
x2+x-4=0，
解得：x1=-4，x2=2
∴A（-4，0），C（2，0）；
（2）作MT⊥x轴于T，设M（m，n），
则AT=m+4，MT=-n，TO=-m，BO=4．
∴SAMBO=
(m+4)(-n)+
(-n+4)(-m)=-2m-2n
∵M（m，n）在抛物线上，
∴n=
m2+m-4
∴SAMBO=-2m-2(
m2+m-4)=-m2-4m+8
∵S△AOB=
×4×4=8，
∴S与m的函数关系式为：S=-m2-4m
∵S为m的二次函数且-1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴S的最大值为-
=4；
（3）因为点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，
所以相应的点Q的坐标为：有两个位置满足条件，此时点Q的坐标为（4，4），（-4，-4）．
设p（a，0.5x2+x-4），则Q（a，-a）
那么PQ=OB=4，
∴0.5x2+x-4-（-a）=4，
解得a=-2+
或a=-2-
（舍去），
∴Q（-2+
，2-
）．
解：（1）设抛物线解析式为：∵抛物线交y轴于B（0，-4）
∴a-
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∴a=
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∴抛物线解析式为：
y=
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令y=0得：
| 1 |
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解得：x1=-4，x2=2
∴A（-4，0），C（2，0）；
（2）作MT⊥x轴于T，设M（m，n），
则AT=m+4，MT=-n，TO=-m，BO=4．
∴SAMBO=
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∵M（m，n）在抛物线上，
∴n=
| 1 |
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∴SAMBO=-2m-2(
| 1 |
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∵S△AOB=
| 1 |
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∴S与m的函数关系式为：S=-m2-4m
∵S为m的二次函数且-1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴S的最大值为-
| (-4)2+4(-1)•0 |
| 4(-1) |
（3）因为点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=x上的动点，
所以相应的点Q的坐标为：有两个位置满足条件，此时点Q的坐标为（4，4），（-4，-4）．
设p（a，0.5x2+x-4），则Q（a，-a）
那么PQ=OB=4，
∴0.5x2+x-4-（-a）=4，
解得a=-2+
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∴Q（-2+
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点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
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