Question

14．如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90°，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”（阴影部分），若菱形的一个内角为60°，边长为2，则该“星形”的面积是6$\sqrt{3}$-6．

Answer 1

分析 根据菱形的性质以及AB=2，∠BAD=60°，可得出线段AO和BO的长度，同理找出A′O、D′O的长度，结合线段间的关系可得出AD′的长度，通过角的计算得出∠AED′=30°=∠EAD′，即找出D′E=AD′，再通过解直角三角形得出线段EF的长度，利用分割图形法结合三角形的面积公式以及菱形的面积公式即可求出阴影部分的面积．

解答 解：在图中标上字母，令AB与A′D′的交点为点E，过E作EF⊥AC于点F，如图所示．

∵四边形ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=60°，
∴∠BAO=30°，∠AOB=90°，
∴AO=AB•cos∠BAO=$\sqrt{3}$，BO=AB•sin∠BAO=1．
同理可知：A′O=$\sqrt{3}$，D′O=1，
∴AD′=AO-D′O=$\sqrt{3}$-1．
∵∠A′D′O=90°-30°=60°，∠BAO=30°，
∴∠AED′=30°=∠EAD′，
∴D′E=AD′=$\sqrt{3}$-1．
在Rt△ED′F中，ED′=$\sqrt{3}$-1，∠ED′F=60°，
∴EF=ED′•sin∠ED′F=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．
∴S_阴影=S_菱形ABCD+4S_△AD′E=$\frac{1}{2}$×2AO×2BO+4×$\frac{1}{2}$AD′•EF=6$\sqrt{3}$-6．
故答案为：6$\sqrt{3}$-6．

点评 本题考查了菱形的性质、旋转的性质、解直角三角形、菱形的面积公式以及三角形的面积公式，解题的关键是求出△AD′E的面积．本题属于中档题，难度不小，历年来时常会考到周长，今年碰到了求面积，解决该题的技巧是分割图形，将阴影部分分割成菱形与四个全等的三角形，求出其中任意一个三角形的面积是解决本题的关键．