Question

如图，OB是矩形OABC的对角线，抛物线y＝－x²＋x＋6经过B、C两点．

(1)求点B的坐标；

(2)D、E分别是OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，过D、E的直线交x轴于F，试说明OE⊥DF；

(3)若点M是(2)中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设x＝0，则y＝6，则点C的坐标为(0，6)，　1分， 　　又矩形OABC，则BC∥x轴，∵抛物线y＝－x2＋x＋6过B、C两点，则B、C两点关于抛物线的对称轴x＝对称，　2分 　　∴B点坐标为(3，6)3分 　　(2)如图1，作EG^ x轴于点G，则EG//BA，　　∴△OEG～△OBH，∴＝＝，又∵OE＝2EB， 　　∴＝，∴＝＝，∴OG＝2，EG＝4，∴点E的坐标为(2，4)．　4分 　　又∵点D的坐标为(0，5)，设直线DE的解析式为y＝kx＋b，则，解得k＝－，b＝5．∴直线DE的解析式为：y＝－x＋5，　5分 　　设y＝0，则x＝10，则OF＝10，GF＝OF－OG＝8， 　　∴＝＝＝，又∠OGE＝∠EGF＝90°，∴△OGE∽△EGF，∴∠EOG＝∠FEG 　　∴∠FEO＝∠FEG＋∠OEG＝∠EOG＋∠OEG＝90°　7分 　　其他证法酌情给分 　　(3)答：存在． 　　①如图1，当OD＝DM＝MN＝NO＝5时，四边形ODMN为菱形．作MP^ y轴于点P，则MP//x轴，∴△MPD～△FOD，∴＝＝． 　　又∵OF＝10． 　　在Rt△ODF中，FD＝＝＝5， 　　∴＝＝， 　　∴MP＝2，PD＝．∴点M的坐标为(－2，5＋)． 　　∴点N的坐标为(－2，)． 　　②如图2，当OD＝DN＝NM＝MO＝5时，四边形ODNM为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP^ x轴． 　　∵点M在直线y＝－x＋5上，∴设M点坐标为 　　(a，－a＋5)，在Rt△OPM中，OP2＋PM2＝OM2， 　　∴a2＋(－a＋5)2＝52，解得a1＝4，a2＝0(舍去)， 　　∴点M的坐标为(4，3)，∴点N的坐标为(4，8)． 　　③如图3，当OM＝MD＝DN＝NO时，四边形OMDN为菱形．连接NM，交OD于点P， 　　则NM与OD互相垂直平分， 　　∴yM＝yN＝OP＝，∴－xM＋5＝，∴xM＝5， 　　∴xN＝－xM＝－5，∴点N的坐标为(－5，)． 　　综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为 　　N1(－2，)，N2(4，8)，N3(－5，)．　10分(每个1分)