Question

2．如图示在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：
①∠DEF=∠DFE；
②AE=AF；
③DA平分∠EDF；④EF垂直平分AD；
其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据角平分线的性质和等腰三角形的形状可得正确；根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，∠ADE=∠ADF可得②③正确；根据等腰三角形三线合一的性质可得④错误，故可得到3个结论均正确．

解答 解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠B=∠C．
∵AD平分∠BAC，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE，故①正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，故②③正确；
∵AE=AF，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分EF，故④错误；
故选C．

点评 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．