Question

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=x²交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点（其中x₁＜0，x₂＞0）．
（1）求b的值．
（2）求x₁•x₂的值．
（3）分别过M，N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是 M₁和N₁．判断△M₁FN₁的形状，并证明你的结论．
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m（m是常数），使m与以MN为直径的圆相切？如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把点F的坐标代入直线可以确定b的值．
（2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x₁•x₂的值．
（3）确定M₁，N₁的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M₁F²，N₁F²，M₁N₁²，然后用勾股定理判断三角形的形状．
（4）根据题意可知y=-1总与该圆相切．
解答：解：（1）∵直线y=kx+b过点F（0，1），
∴b=1；

（2）∵直线y=kx+b与抛物线y=x²交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点，
∴可以得出：kx+b=x²，
整理得：x²-kx-1=0，
∵a=，c=-1，
∴x₁•x₂=-4，

（3）△M₁FN₁是直角三角形（F点是直角顶点）．
理由如下：设直线l与y轴的交点是F₁，
FM₁²=FF₁²+M₁F₁²=x₁²+4，
FN₁²=FF₁²+F₁N₁²=x₂²+4，
M₁N₁²=（x₂-x₁）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂=x₁²+x₂²+8，
∴FM₁²+FN₁²=M₁N₁²，
∴△M₁FN₁是以F点为直角顶点的直角三角形．

（4）符合条件的定直线m即为直线l：y=-1．
过M作MH⊥NN₁于H，MN²=MH²+NH²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
=（x₁-x₂）²+[（kx₁+1）-（kx₂+1）]²，
=（x₁-x₂）²+k²（x₁-x₂）²，
=（k²+1）（x₁-x₂）²，
=（k²+1）[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]
=（k²+1）（16k²+16）
=16（k²+1）²，
∴MN=4（k²+1），
分别取MN和M₁N₁的中点P，P₁，
PP₁=（MM₁+NN₁）=（y₁+1+y₂+1）=（y₁+y₂+2）=（y₁+y₂）+1=k（x₁+x₂）+2=2k²+2，
∴PP₁=MN
即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半．
∴以MN为直径的圆与l相切．
即对于过点F的任意直线MN，存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切，这条直线m的解析式是y=-1．
点评：本题考查的是二次函数的综合题，
（1）由点F的坐标求出b的值．
（2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值．
（3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状．
（4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置．