题目内容
【题目】如图已知抛物线与
轴交于点C(0，4)，与
轴交于A(
，0)、B(
，0)，其中，为方程
的两个根．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连结CQ，设Q(，0)，△CQE的面积为，求关于的函数关系式及△CQE的面积的最大值；
（3）点M的坐标为(2，0)，问：在直线AC上，是否存在点F，使得△OMF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
， (其中：
)，△CQE的面积的最大值为3；（3）存在，点F的坐标为(1，3)或(2，2)．
【解析】
（1）首先利用方程求出图象与x轴交点坐标，进而将C点坐标代入求出a的值即可；
（2）作EH⊥AB于点H，可得EH∥CO，根据QE∥AC，可得出比例关系，代入求出EH的长度，求出S△CQE，得出关系式，并求最大值；
（3）存在．利用待定系数法求出AC的解析式，设F（x，x＋4），表示出OM、MF、OF的长度，要使△OMF是等腰三角形有三种情况：①OF＝FM时，②OM＝OF＝2时，③OM＝MF时，分别求出点F的坐标．
解：（1）解方程
，
得：
，
，
∴A(4，0)，B(－2，0)，
设抛物线解析式为：
，
将C(0，4)代入，解得：
，
∴抛物线解析式为：
即．
（2）由Q(
，0)，可得：
BQ＝
，AQ＝
，
作EH⊥AB于点H，
∵EH∥CO，∴
，
又∵QE∥AC，∴
，
∴
，即
，
∴
，
∵
，
即
关于的函数关系式为：
，
(其中：)，
∴△CQE的面积的最大值为3；
（3）存在．
理由如下：
设AC的解析式为：
，AC过A(4，0)和C(0，4)，
∴
，解之得：
，
，
∴AC的解析式为：
，
∵
F在AC上，设F(，
)，
∴
，
，
，
若△OMF是等腰三角形可能有三种情况：
①OF＝FM时，F的横坐标应为1，
∴F(1，3)；
②OF＝OM＝2时，
，
化简得：
，
∵
，∴这种情况不存在；
③ OM＝MF＝2时，
，
化简得：
，
解得：
，
(舍去)，
∴F(2，2)，
综上所述，当△OMF是等腰三角形时，点F的坐标为(1，3)或(2，2)．
