Question

【题目】如图，直线与轴、轴相交于、两点，抛物线过点、，且与轴另一个交点为，以、为边作矩形，交抛物线于点．

（1）求抛物线的解析式以及点的坐标；

（2）已知直线交于点，交于点，交于点，交抛物线（上方部分）于点，请用含的代数式表示的长；

（3）在（2）的条件下，连接，若和相似，求的值．

Answer 1

【答案】（1），的坐标为；（2）；（3）的值为或1．

【解析】

（1）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后令即可求出点A的坐标；

（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而可得点M的坐标，再根据抛物线可得点P的坐标，然后根据即可得；

（3）先根据点的坐标、正方形的性质分别求出AE、ME、CF、PF的长，再根据相似三角形的性质即可得．

（1）对于直线

当时，，解得，则点的坐标为

当时，，则点的坐标为

将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得

则抛物线的解析式为

令得，解得或

∴点的坐标为；

（2）设直线的解析式为

把，代入得，解得

∴直线的解析式为

∵点的横坐标为，点在上

∴点的坐标为

∵点的横坐标为，点在抛物线上

∴点的坐标为

∴

即；

（3）由题意得，，，

根据相似三角形的性质，分以下两种情况：

①若，则

即

∵且

∴；

②若，则

即

∵且

∴

综上，的值为或1．