Question

已知：如图，△ABC中，点D是BC边上的一点，∠ADE=∠ABC=60°，DE交∠ABC的外角平分线于点E．求证：△ADE是等边三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：在线段BA上截取BM，使BM=BD，由等边三角形的判定可得△BDM是等边三角形，进而证明∠AMD=∠DBE，∠ADM=∠BDE，再由DB=DB，可证明△ADM和△EDB全等，得出AE=ED，根据等边三角形的判定得出△ADE是等边三角形．

解答：证明：在线段BA上截取BM，使BM=BD．
∵∠ABC=60°，
∴△BDM为等边三角形，∠ABF=120°，
∴DM=DB，∠BDM=∠BMD=60°，∠AMD=120°，
又∵BE平分∠ABF，

∴∠DBE=120°，
∴∠AMD=∠DBE，
∵∠ADE=∠BDM=60°，
∴∠1=∠2．
在△ADM和△EDB中

∠AMD=∠DBE DM=DB ∠1=∠2

，
∴△ADM≌△EDB（ASA），
∴AD=ED．
∴△ADE为等边三角形．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和判定，巧妙作出辅助线构造全等三角形是解题关键．