Question

如图，边长为2的正方形ABCD各边的延长线和反向延长线与⊙O的交点把⊙O分成8条相等的弧，则⊙O的半径是

4+2 2

．

Answer 1

分析：连接MN，EW，MW，QM，证四边形QMNW和BWNC是矩形，推出WN=QM=EW=2，根据勾股定理求出BE=BW=

2

，在Rt△MQW中根据勾股定理求出半径即可．

解答：解：连接MN，EW，MW，QM，
∵弧QM=弧WN，
∴QM∥WN，QM=WN，∠WNM=

1

8

×360°×4×

1

2

=90°，
∴四边形QMNW是矩形，
∴O在MW上，
∵正方形ABCD，
∴∠WBC=∠BCN=90°，
∴四边形BCNW是矩形，
∴WN=QM=EW=2，
∵∠BEW=∠EWB=45°，
∴由勾股定理得：EB=BW=

2

，
同理AQ=

2

，
设圆O的半径是r，
在Rt△MQW中，由勾股定理得：MQ²+QW²=MW²，
∴2²+(2+2

2

)2=（2r）²
r=

4+2 2

，
故答案为：

4+2 2

．

点评：本题考查了对矩形的性质和判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识点的理解和掌握，作辅助线构造直角三角形，求出QM和QW是解此题的关键．