Question

已知二次函数y=x²-2mx-m²（m≠0）的图象与x轴交于点A，B，它的顶点在以AB为直径的圆上．
（1）证明：A，B是x轴上两个不同的交点；
（2）求二次函数的解析式；
（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长．

Answer 1

分析：（1）求出根的判别式，然后根据根的判别式大于0即可判断与x轴有两个交点；
（2）利用根与系数的关系求出AB的长度，也就是圆的直径，根据顶点公式求出顶点的坐标得到圆的半径，然后根据直径是半径的2倍列式即可求出m的值，再把m的值代入二次函数解析式便不难求出函数解析式；
（3）根据（2）中的结论，求出圆的半径，弦心距，半弦，然后利用勾股定理列式求出半弦长，弦CD的长等于半弦的2倍．

解答：解：（1）证明：∵y=x²-2mx-m²（m≠0），
∴a=1，b=-2m，c=-m²，
△=b²-4ac=（-2m）²-4×1×（-m²）=4m²+4m²=8m²，
∵m≠0，
∴△=8m²＞0，
∴A，B是x轴上两个不同的交点；

（2）设AB点的坐标分别为A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁+x₂=-

b

a

=-

-2m

1

=2m，x₁•x₂=

c

a

=-m²，
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4m2+4m2

=2

2m2

，
-

b

2a

=-

-2m

2×1

=m，

4ac-b2

4a

=

4×1×(-m2)-(-2m)2

4×1

=-2m²，
∴顶点坐标是（m，-2m²），
∵抛物线的顶点在以AB为直径的圆上，
∴AB=2（2m²），
即2

2m2

=2（2m²），
解得m²=

1

2

，
∴m=±

2

2

，
∴y=x²-2×

2

2

x-

1

2

=x²-

2

x-

1

2

，或y=x²+2×

2

2

x-

1

2

=x²+

2

x-

1

2

，
即抛物线解析式为：y=x²-

2

x-

1

2

或y=x²+

2

x-

1

2

；

（3）根据（2）的结论，圆的半径为2m²=2×

1

2

=1，
弦CD的弦心距为|m|=

2

2

，
∴

1

2

CD=

12-( 2 2 )2

=

2

2

，
∴CD=2×

2

2

=

2

．

点评：本题综合考查了二次函数与x轴的交点的个数的判断，根与系数关系的应用，以及圆的半径，弦心距，半弦长构成直角三角形的应用，勾股定理，综合性较强，但难度不是很大仔细分析求解便不难解决．