Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax²+bx过A、C两点.   
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.

Answer 1

(1)点A的坐标为（4，8）           
将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax²+bx
得8=16a+4b
0=64a+8b
解得a=,b=4
∴抛物线的解析式为：y=-x²+4x       
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=
∴PE=AP=t．PB=8-t．
∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.
∴点G的纵坐标为：-（4+t）²+4(4+t）=-t²+8.  
∴EG=-t²+8-(8-t)
=-t²+t.
∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2.       
②共有三个时刻：t₁=，  t₂=，t₃= ．               

解析