Question

如图，抛物线y=-

5

4

x²+

17

4

x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意易求得A与B的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB的函数关系式；
（2）由s=MN=NP-MP，即可得s=-

5

4

t²+

17

4

t+1-（

1

2

t+1），化简即可求得答案；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程：-

5

4

t²+

15

4

t=

5

2

，解方程即可求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可．

解答：解：（1）∵当x=0时，y=1，
∴A（0，1），
当x=3时，y=-

5

4

×3²+

17

4

×3+1=2.5，
∴B（3，2.5），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则：

b=1 3k+b=2.5

，
解得：

b=1 k= 1 2

，
∴直线AB的解析式为y=

1

2

x+1；

（2）根据题意得：s=MN=NP-MP=-

5

4

t²+

17

4

t+1-（

1

2

t+1）=-

5

4

t²+

15

4

t（0≤t≤3）；

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有-

5

4

t²+

15

4

t=

5

2

，
解得t₁=1，t₂=2，
∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形．
①当t=1时，MP=

3

2

，NP=4，故MN=NP-MP=

5

2

，
又在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

=

5

2

，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，
②当t=2时，MP=2，NP=

9

2

，故MN=NP-MP=

5

2

，
又在Rt△MPC中，MC=

MP2+PC2

=

5

，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用．